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【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點

山東成人高考網www.hakuei-piano.com 發布時間: 2018年04月01日

考點三:函數的極值——重點

函數的極值包括極大值和極小值,是一個局部概念,一個函數可能有多個極大值和極小值。求函數的極值有兩種方法:第一充分條件—— 一階導數法和第二充分條件—— 二階導數法。主要考查:求函數的極值點和極值。

1、第一充分條件—— 一階導數法步驟

(1) 確定函數【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點的定義域;

(2) 求可能的極值點:求其導數【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,解方程【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點求出【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點的全部駐點與不可導點;

(3) 討論【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點在駐點和不可導點左、右兩側鄰近符號變化的情況,確定函數的極值點;

(4) 求出各極值點的函數值,就得到函數【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點的全部極值.

典型例題:求出函數【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點的極值.

 

1)【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點

2)【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點得駐點【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點

3)列表討論如下:

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極大值

極小值

4)所以, 極大值【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點極小值【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點

【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點 

【注】

1)函數可能的極值點為駐點和不可導點(【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點不存在的點)。

2)一階導數法求極值就是利用單調性來判別極值,其步驟和判別單調性相似。

2、第二種充分條件——二階導數法

第二充分條件其實就是利用二階導數求函數的極值,可利用函數的凸凹性記憶。

設函數f(x)在點x0處具有二階導數且f (x0)=0, f (x0)10, 那么

(1) 當f (x0)<0時, 函數f(x)在x0處取得極大值; 

(2) 當f (x0)>0時, 函數f(x)在x0處取得極小值; 

典型例題:求出函數【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點的極值.

  【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點

【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點得駐點【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點

【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點故極大值【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點

故極小值【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點

【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點 

【注】【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點, 【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點在點 【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點處不一定取極值, 仍用第一充分條件進行判斷.

【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點 函數的不可導點, 也可能是函數的極值點.

 

考點四:函數的最大值和最小值(重點)

函數的最值是??嫉闹R點,主要包括:函數在給定閉區間上最大值和最小值的求法、實際問題中的最值問題。

1、函數在給定閉區間上最大值和最小值的求法: 

計算函數【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點在一切可能極值點的函數值,并將它們與【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點相比較,這些值中最大的就是最大值,最小的就是最小值;

(函數的最大值在極值點和端點取得)

典型例題:【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點上的最大值與最小值.

  【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點  解方程【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點

計算【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點 

比較得最大值【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點 最小值【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點

【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點 

2、實際問題中的最值問題

典型例題:設拋物線【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點軸的交點為【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,在他們所圍成的平面區域內,以線段【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點為下底做內接等腰梯形【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,設梯形的上底【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點長為【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,面積為【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點。

a)寫出【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點的表達式;

b)求【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點的最大值。

解:

1)先求交點,由【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,解得【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,所以交點【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點的坐標分別為【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,所以:

【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點

2)【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,得到【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點(舍去);

由所給問題得實際意義知: 【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點時,【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點達到最大,最大值【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點。

【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點 

 

考點五:曲線的凹凸性的判別(凹凸區間和拐點)

確定曲線y=f(x)的凹凸區間和拐點的步驟: 

(1) 求函數的二階導數【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點;

(2) 令【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,解出全部實根,并求出所有使二階導數不存在的點;

(3) 對步驟(2)中求出的每一個點,檢查其鄰近左、右兩側【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點的符號,確定曲線的凹凸區間和拐點.

典型例題:求曲線y=3x 4-4x 3+1的拐點及凹、凸的區間. 

: 

(1)函數y=3x 4-4x 3+1的定義域為(-, +); 

(2)【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點; 

(3)解方程y=0, 【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點, 【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點; 

(4)列表判斷: 

【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點 

在區間(-, 0]和[2/3, +)上曲線是凹的, 在區間[0, 2/3]上曲線是凸的. (0, 1)和(2/3, 11/27)是曲線的拐點. 

往年真題:曲線【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點的拐點坐標為_______。

解:【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,

y=0, 【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點.

因為當【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點, y>0; 【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點, y<0, 所以點(0,1)是曲線的拐點.

 

考點六:求曲線的漸近線(作為了解即可)

在某個變化過程中曲線逐漸靠近擔永遠不可能達到的那條直線。

1、水平漸近線:

【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,則直線【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點為水平漸近線

例:【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點

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鉛直漸近線:(其實就是分母為零而分子不為零的點【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點

【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點,則直線【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點為鉛直漸近線

【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點 

、求【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點 漸近線

解:【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點       ∴ 【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點為水平漸近線

【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點       ∴ 【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點垂直漸近線。(【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點時分母為零而分子不為零)

 求函數【山東成考專升本】數學1--函數的極值——重點的漸近線.

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